МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ „ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
Кафедра АТХП
ДОСЛІДЖЕННЯ ЛІНІЙНИХ МОДЕЛЕЙ
КЛАСИЧНИМИ МЕТОДАМИ
Звіт
до лабораторної роботи №3
з дисципліни:
„Математичне моделювання на комп’ютерах”
Варіант 4
Дослідити лінеаризовану математичну модель
відкритої проточної гідравлічної ємності,
зображеної малюнку.
де А =,
b =.
Початкові умови: .
Збурення: Па
Зведення системи лінійних рівнянь до одного диференційного рівняння.
Для того щоб застосувати до системи формулу Крамера потрібно записати її в операторному вигляді. Введемо оператор диференціювання і перепишемо систему :
В матричній формі система має вигляд
,
або А*у=f ,
де А =, у = , f =.
Потрібно отримати диференційне рівняння вищого порядку відносно .
;
.
Aбо, перепозначивши А1=, А2=, отримаємо:
Знаходження реакції лінійної моделі на стрибкоподібне збурення.
Для лінійної математичної моделі справедливі принципи суперпозиції , однорідності та комутативності , тому загальну реакцію моделі можна шукати як суму реакцій на збурення .
Знайдемо реакцію r1(t) на стрибкоподібне збурення .
; .
Заміна дозволить звести диференційне рівняння до однорідного:
Для даного варіанту , . Характеристичне рівняння отримане за диф. рівнянням - ,
має розв’язки ,
Оскільки корені характеристичного рівняння є дійсні різні числа , то розв’язок диф. рівняння має вигляд .
Перейшовши від z до r1, маємо: .
Загальний розв’язок диференційного рівняння, тобто перехідна функція об’єкту r(t), має вигляд:
;
.
Нехай , отримаємо: .
Невідомі коефіцієнти знайдемо з початкових умов та . , значення знаходимо з першого рівняння системи: .
Враховуючи, що при , , отримаємо .
При t=0
, .
Порівняння графіків перехідних функцій, отриманих за аналітичним розв’язком та числовим методом.
Для перевірки правильності аналітичного розв’язку диференційного рівняння побудуємо в одній системі координат графік залежності r(t) та графік перехідної функції, отриманий за допомогою функції STEP. Послідовність команд, яку потрібно виконати для побудови графіків, зібрана у script-файлі graf.m. Оскільки графіки точно накладаються, то точки одного з них показані колами.
% Файл порівняння графіків перехідних процесів отриманих
% за аналітичною залежністю та числовим методом
% -----------------------------------------------------
% Побудова аналітичної залежності
Px=700; t=[0:20:600];
a=[0 -5.09295817894065;
0.00277371215385 -1.57190067251255];
b=[0; -0.28274333882308e-006];
A1=-a(2,2); A2=-a(1,2)*a(2,1);
D=sqrt((A1/A2)^2-4/A2);
lb1=(-A1/A2+D)/2*A2;
lb2=(-A1/A2-D)/2*A2;
N=a(1,2)*b(2,1);
c2=lb1*Px/A2/(lb2-lb1);
c1=-Px/A2-c2;
r=N*c1*exp(lb1*t)+N*c2*exp(lb2*t)+N*Px/A2;
c=[1 0]; d=[0];
[y,x]=step(a,b,c,d,1,t);
x=Px*x;
plot(t,r,'o',t,x(:,1)); grid;
title('perexidna f');
ylabel('h-h0,m'); xlabel('t,c');
Рис.1. Порівняння графіків перехідної функції.
Знаходження реакції лінійної моделі на імпульсне збурення.
Для лінійної моделі імпульсна перехідна функція h(t)=dr(t)/dt, тобто
.
Порівняння графіків імпульсних перехідних функцій.
Графік аналітичної імпульсної перехідної(ІПФ) функції побудуємо за залежністю . Для числового знаходження реакції на U0(t) використаємо функцію IMPULSE.
Для накладання графіків ІПФ додамо у файл graf.m такі стрічки:
Px=700; t=[0:20:600];
a=[0 -5.09295817894065;
0.00277371215385 -1.57190067251255];
b=[0; -0.28274333882308e-006];
A1=-a(2,2); A2=-a(1,2)*a(2,1);
D=sqrt((A1/A2)^2-4/A2);
lb1=(-A1/A2+D)/2*A2 ;
lb2=(-A1/A2-D)/2*A2;
N=a(1,2)*b(2,1);
c2=lb1*Px/A2/(lb2-lb1);
c1=-Px/A2-c2;
h=lb1*N*c1*exp(lb1*t)+lb2*N*c2*exp(lb2*t);
c=[1 0]; d=[0];
[y,x]=impulse(a,...
